Question

8．如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若∠A=45°，AC=10，求四边形BCED的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD、DC，根据圆周角定理得到∠BDC=90°，根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质证明；
（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分计算即可．

解答 （1）证明：连接OD、DC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，又DE平分AC，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ECD+∠OCD=∠EDC+∠ODC=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=45°，AC=10，
∴BC=AC=10，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×BC×AC=50，
∵CA=CB，CD⊥AB，
∴△ADC的面积=$\frac{1}{2}$×△ABC的面积=25，
∵DE是△ADC的中线，
∴△ADE的面积=$\frac{1}{2}$×△ADC的面积=12.5，
∴四边形BCED的面积=50-12.5=37.5．

点评 本题考查的是圆的切线的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．