Question

17．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，若AC=2$\sqrt{3}$，AE=3，CE=$\sqrt{3}$，求弧BD的长度．（保留π）

Answer 1

分析 连接OC，先根据勾股定理的逆定理得出△ACE是直角三角形，再由垂径定理得出CE=DE，$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，由三角函数求出∠A=30°，由圆周角定理求出∠BOC，由弧长公式得出$\widehat{BD}$的长度=$\widehat{BC}$的长度=$\frac{2}{3}$π即可．

解答 解：∵AC=2$\sqrt{3}$，AE=3，CE=$\sqrt{3}$，
∴AE²+CE²=AC²，
∴△ACE是直角三角形，∠AEC=90°，
∴CD⊥AB，sin∠A=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，∠A=30°，
连接OC，如图所示：
则∠BOC=2∠A=60°，OC=$\frac{CE}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴$\widehat{BD}$的长度=$\widehat{BC}$的长度=$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查的是垂径定理、勾股定理的逆定理、三角函数、弧长公式等知识；熟练掌握勾股定理的逆定理，由垂径定理得出$\widehat{BC}=\widehat{BD}$是解决问题的关键．