Question

设x、y、z是三个实数，且有

1 x + 1 y + 1 z =2 1 x2 + 1 y2 + 1 x2 =1.

，则

1

xy

+

1

yz

+

1

zx

的值是（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、

  3

  2

• D、

  3

Answer 1

考点：完全平方公式,完全平方数

专题：

分析：首先把

1

x

+

1

y

+

1

z

=2通分变为

xy+yz+xz

xyz

=2，接着得到xy+yz+zx=2xyz，然后两边同时平方得到x²y²+y²z²+z²x²+2xyz（x+y+z）=4x²y²z²①，然后把

1

x2

+

1

y2

+

1

x2

=1通分变为

x2y2+y2z2+z2x2

x2y2z2

=1，然后变为x²y²+y²z²+z²x²=x²y²z²，接着把它代入①中即可解决问题．

解答：解：∵

1

x

+

1

y

+

1

z

=2，
∴

xy+yz+xz

xyz

=2，
∴xy+yz+zx=2xyz，
两边平方得
x²y²+y²z²+z²x²+2xyz（x+y+z）=4x²y²z²①，
又∵

1

x2

+

1

y2

+

1

x2

=1，
∴

x2y2+y2z2+z2x2

x2y2z2

=1，
∴x²y²+y²z²+z²x²=x²y²z²②，
把②代入①得
x²y²z²+2xyz（x+y+z）=4x²y²z²，
∴2xyz（x+y+z）=3x²y²z²，
∴xyz（x+y+z）=3x²y²z²÷2，
两边同时除以x²y²z²得

xyz(x+y+z)

x2y2z2

=

3

2

，
∴

1

xy

+

1

yz

+

1

zx

=

3

2

．
故选C．

点评：此题主要考查了利用完全平方公式进行恒等式变形然后求代数式的值，是一个竞赛题，比较难，要求学生对于完全平方公式和代数变形比较熟练才能很好的解决问题．