Question

1．已知二次函数y=a（x-m）²-a（x-m）（其中a，m为常数，且a＞0）．请把y=a（x-m）²-a（x-m）直接化为y=a（x-x₁）（x-x₂）的形式，并说明该函数的图象与x轴总有两个公共点．

Answer 1

分析 提取公因数a（x-m），即可将y=a（x-m）²-a（x-m）变形为y=a（x-m）（x-m-1），令y=0，即可求出方程a（x-m）²-a（x-m）=0的两个根为x₁=m、x₁=m+1，由m≠m+1，即可得出方程a（x-m）²-a（x-m）=0有两个不相等的实数根，进而即可得出二次函数y=a（x-m）²-a（x-m）的图象与x轴总有两个公共点．

解答 解：y=a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）．
令y=0，则有a（x-m）²-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，
解得：x₁=m，x₂=m+1．
∵m≠m+1，
∴方程a（x-m）²-a（x-m）=0有两个不相等的实数根，
∴二次函数y=a（x-m）²-a（x-m）的图象与x轴总有两个公共点．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的三种形式，将二次函数的解析式由一般式变形为交点式是解题的关键．