Question

如图，已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，直线AD，BC相交于点E，F是弦CD的中点，直线EF交弦AB于点G，求证：
（1）ED•EA=EC•EB；
（2）AG：GB=AE²：BE²．

Answer 1

证明：
（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠DCE=∠A，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EAB
∴
故ED•EA=EC•EB；
（2）证明：∵△DEF的边DF和△CEF的边CF上的高相等，
∵CF=DF，
∴=1，
由正弦定理得：===1
∵△EDC∽△EAB
∴=，
∴=1，
∴=，
∵△AEG边AG和△BEG边CG上的高相等，
∴===•=×，
即=．
分析：（1）由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，据此性质证△EDC∽△EAB，从而得证；
（2）根据三角形面积公式和CF=DF求出，=1，由正弦定理推出=1根据△EDC∽△EAB求出=，根据三角形面积公式求出==•，代入求出即可．
点评：此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是运用好圆内接四边形的性质和三角形的面积公式．