Question

如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4

3

，D是BC与⊙O的交点．
（1）点D是线段BC的中点吗？请说明理由；
（2）求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理推论得出，∠ADB=90°，以及BD的长度即可得出答案；
（2）证明△ABD≌△ADC，即可得出答案．

解答：解：（1）答：点D是线段BC的中点．
连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=4，∠ABC=30°，
∴BD=AB•cos30°=4×

3

2

=2

3

．
又∵BC=4

3

，
∴BD=

1

2

BC．
即D是线段BC的中点．

（2）解法一：证明：∵BD=CD，AD=AD，∠ADB=ADC=90°．
∴△ABD≌△ADC．
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
解法二：∵AD⊥BC，BD=CD．
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．

点评：此题主要考查了圆周角定理的推论以及解直角三角形和等腰三角形的性质，得出BD的长度是解决问题的关键．