Question

如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）相交于E，E是CD的中点，过点B作BF∥CD交AD的延长线于
点F．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）连接BC，若⊙O的半径为5，∠BCD=38°，求线段BF、BC的长．（精确到0.1）

Answer 1

分析：（1）由垂径定理可证AB⊥CD，由CD∥BF，得AB⊥BF，则BF是⊙O的切线；
（2）连接AC，由垂径定理可知

BC

=

BD

，则∠CAB=∠DAB=∠BCD=38°，而AB=10，分别解直角三角形求线段BF、BC的长．

解答：（1）证明：∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥CD（2分）
∵CD∥BF，
∴AB⊥BF（3分）
∴BF是⊙O的切线；（4分）

（2）解：解法一：连接AC，∵AB是⊙O的直径，
∴AB=5×2=10，∠BCA=90°
又∵AB⊥CD，
∴弧BC=弧BD，
∴∠BAC=∠BAF=∠BCD=38°（6分）
在Rt△ABF中，tan∠BAF=

BF

AB

，BF=AB×tan∠BAF=10×tan38°≈7.8（8分）
在Rt△ABC中，sin∠BAC=

BC

AB

，
∴BC=AB×sin∠BAD=10×sin38°≈6.2（10分）

解法二：连接BD，∵AB是⊙O的直径，
∴AB=5×2=10，∠BDA=90°
又∵AB⊥CD，
∴弧BC=弧BD，
∴BC=BD，∠BAD=∠BCD=38°（6分）
在Rt△ABF中，tan∠BAF=

BF

AB

，
∴BF=AB×tan∠BAF=10×tan38°≈7.8（8分）
在Rt△ABD中，sin∠BAD=

BD

AB

，
∴BC=BD=AB×sin∠BAD=10×sin38°≈6.2．（10分）

点评：本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的知识．关键是利用圆周角定理将已知角进行转化，利用直径证明直角三角形．