Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足
，连结MC，NC，MN．

小题1:（1）填空：与△ABM相似的三角形是△       ，=        ；（用含a的代数式表示）
小题2:（2）求的度数；
小题3:（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．

Answer 1

小题1:（1）与△ABM相似的三角形是△NDA，
小题2:（2）由（1）△ABM∽△NDA可得．………………3分
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，DA= BC，．
∴．
∵ BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，
∴．
∴△BCM∽△DNC．…………………………………………………………4分
∴．
∴
．
小题3:（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是．
（只猜想答案不证明不给分）
证法一：如图9，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则   
          △ABF≌△ADN．…………………………………………………6分
∴，AF=AN，BF=DN，．
∴．
∴．
又∵ AM= AM，
∴△AMF≌△AMN．
∴MF=MN．
可得．
∴在Rt△BMF中，．
∴．…………………………………………7分
证法二：连接BD，作ME∥BD，与DN交于点E．（如图10）
可知，．……………………………………6分
∵ ME∥BD，
∴．
∵，
∴四边形BDEM是矩形．
∴ME=BD，BM=DE．
在Rt△MEN中，，
∴  
．

略