Question

如图，⊙O的直径AB=4cm，C是⊙O上一点，F为弦BC的中点，∠CAB=30°，则弦BC的长为

2

cm．若动点E以1cm/s的速度从A点出发向点B运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜4），连接EF，当t值为

2或

7

2

s时，△BEF是直角三角形．

Answer 1

分析：由AB是⊙O的直径，由圆周角定理，即可求得∠C=90°，然后利用直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，即可求得BC的长；然后分别从①若EF∥AC，则∠EFB=90°，此时：

BE

AB

=

BF

BC

与②当△BFE∽△BAC时，∠FEB=∠C=90°，此时

BF

AB

=

BE

BC

去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵AB=4cm，∠CAB=30°，
∴BC=

1

2

AB=2（cm）；
∵F为弦BC的中点，
∴BF=

1

2

BC=1（cm），
∵AE=tcm，则BE=（4-x）cm，
①若EF∥AC，则∠EFB=90°，
此时：

BE

AB

=

BF

BC

，
即

BE

4

=

1

2

，
解得：BE=2cm，
即t=2（s）；
②当△BFE∽△BAC时，∠FEB=∠C=90°，
此时

BF

AB

=

BE

BC

，
即

1

4

=

BE

2

，
解得：BE=

1

2

cm，
即t=

7

2

（s），
∴当t值为2或

7

2

s时，△BEF是直角三角形．
故答案为：2，2或

7

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线分线段成比例定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．