Question

9．如图，在菱形ABCD中，∠BCD=108°，CD的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结BF，则∠ABF等于18°．

Answer 1

分析 欲求∠ABF只要求出∠ABC、∠CBF，∠ABC，利用菱形的性质：邻角互补解决，∠CBF利用全等三角形的性质解决．

解答 解：连接DF．

∵四边形ABCD为菱形，∠BCD=108°，
∴∠DCA=∠BCA=54°，∠DCB+∠CBA=180°，
∴∠CBA=72°，
∵EF垂直平分CD，
∴FC=FD，
∴∠CDF=∠DCF=54°，
在△FCD和△FCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{∠FCD=∠FCB}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△FCD≌△FCB，
∴∠CBF=∠CDF=54°，
∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=72°-54°=18°．
故答案为18°．

点评 本题考查菱形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质，出现垂直平分线要想到垂直平分线的性质，利用这个性质添加辅助线，属于中考常考题型．