Question

【题目】如图1，△ABC内接于⊙O，AC是直径，点D是AC延长线上一点，且∠DBC＝∠BAC， .

(1) 求证：BD是⊙O的切线；

(2) 求的值；

(3) 如图2，过点B作BG⊥AC交AC于点F，交⊙O于点G，BC、AG的延长线交于点E，⊙O的半径为6，求BE的长.

图1 图2

Answer 1

【答案】(1)见解析； (2) ；(3)

【解析】试题分析：（1）连接OB.欲证明是切线，只要证明即可；
（2）由△DBC∽△DAB，推出在Rt△ABC中, 推出设CD=a，则BD=2a，AD=4a，AC=3a，由此即可解决问题；
（3）如图2中，连接CG．由△ECG∽△EAB，推出,设EC=y,则由此想办法列出方程即可解决问题；

试题解析：(1)证明：如图1中，连接OB.

∵AB是直径，

∴

∵OB=OA=OC，

∴∠A=∠OBA，∠OBC=∠OCB，

∴ 即OB⊥BD，

∴DB是⊙O的切线.

(2)∵∠D=∠D，∠DBC=∠A，

∴△DBC∽△DAB，

在Rt△ABC中,

设CD=a，则BD=2a，AD=4a，AC=3a，

(3)如图2中，连接CG.

在Rt△ABC中，∵AC=12，BC:AB=1:2，

∴

∵AC⊥BG，

∴BF=FG，

BC=CG，

∵∠E=∠E，∠ECG=∠EAB，

∴△ECG∽△EAB，

∴,设EC=y,则

∵BE=2EG，

∴

∴

∴