Question

19．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC
（1）若∠CAE=30°，求∠BCD的度数．
（2）求证：AE⊥CD．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数；
（2）根据三角形全等得到∠BAE=∠BCD，再利用直角之间的关系即可得到∠EFC=90°，结论即可得出．

解答 （1）证明：在△ABE和△CBD中，延长AE与DC相交于点F，如图：

在RT△ABE与RT△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，
则∠BDC=75°；
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BCD+∠CEF=90°，
∴∠EFC=90°，
即AF⊥DC．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．