Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，sinC=

4

5

，点P从O点出发，沿边OA、AB、BC匀速运动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿边CO匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm²），已知S与t之间的函数关系如图2中曲线段OE、线段EF与曲线段FG给出．
（1）则点P的运动速度为

 

cm/s，点B、C的坐标分别为

 

，

 

；
（2）求曲线FG段的函数解析式；
（3）当t为何值时，△CPQ的面积是四边形OABC的面积的

4

13

？

Answer 1

考点：二次函数综合题,动点问题的函数图象

专题：

分析：（1）利用函数图象得出QC=2时S=4，进而得出AO的长，再利用图象变化规律得出CO的长，进而得出B，C点坐标；
（2）利用三角形面积公式以及t的不同取值范围进而得出S与t的函数关系式；
（3）利用当△CPQ的面积是四边形OABC的面积的

4

13

，则26×

4

13

=8，进而代入函数解析式求出t的值．

解答：解：（1）如图1，过点B作BN⊥CO于点N，
由图象可得出：当t=2秒时，S=4时，2秒后，图象变为一次函数，则此时P点在线段AB上移动，
∵S_△CPQ=

1

2

×QC×AO=4，QC=2时S=4，
∴AO=4，
∴点P的运动速度为2cm/s，
∵sinC=

4

5

，AO=4，
∴BN=4，则BC=5，
∴NC=3，
当4.5秒时，图象再次发生变化，则P点在AB上移动了2.5秒，移动距离的为5cm，
故AB=5，则B（5，4），CO=8，故C（8，0），
故答案为：2，（5，4）（8，0）；

（2）当0≤t≤2时，S=

1

2

CQ×OP=t²，
故此时抛物线解析式为：S=t²；
如图2，当2≤t≤4.5时，
S=

1

2

PM×QC
=4×

1

2

×t=2t，
故此时直线解析式为：S=2t；
如图3，当4.5≤t≤7时，
S=

1

2

×PM×QC
=

1

2

×QC×PCsinC
=

1

2

t[5-（2t-9）]×sinC=

1

2

t[5-（2t-9）]×

4

5

，
故S=-

4

5

t²+

28

5

t；

（3）∵S_{四边形AOCB}=

1

2

（AB+CO）×AO=

1

2

×4×（5+8）=26，
当△CPQ的面积是四边形OABC的面积的

4

13

，则26×

4

13

=8，
∴S_△CPQ=8，
当2t=8
解得：t=4，
当8=-

4

5

t²+

28

5

t，
解得：t₁=2（不合题意舍去），t₂=5，
故t=4或t=5时，△CPQ的面积是四边形OABC的面积的

4

13

．

点评：此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形面积求法和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出是解题关键．