Question

7．某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=40m，AB=50m．
（1）求这块废地的面积；
（2）若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，已知水渠的造价为20元/m，则D点距A点多远处时此水渠的造价最低？最低造价是多少？在图上标出D点．

Answer 1

分析 （1）先由勾股定理求出BC，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC×BC，即可得出结果；
（2）当CD⊥AB时，水渠的造价最低；作CD⊥AB于D，D即为所求，由△ABC的面积的计算方法求出CD，由勾股定理求出AD，即可得出结果．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{5{0}^{2}-4{0}^{2}}$=30（m），
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$×40×30=600（m²）；
答：这块废地的面积为600m²；
（2）当CD⊥AB时，水渠的造价最低；
作CD⊥AB于D，D即为所求的点，如图所示：
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB×CD=$\frac{1}{2}$AC×BC，
∴CD=$\frac{AC×BC}{AB}$=$\frac{40×30}{50}$=24（m），
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{4{0}^{2}-2{4}^{2}}$=32（m），
20×24=480（元）．
答：D点距A点32m处时此水渠的造价最低，最低造价是480元．

点评 本题考查了勾股定理的运用、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理的运用，由勾股定理求出BC和AD是解决问题的关键．