Question

10．如图，直线y=-x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过点A和点B，C是第一象限内抛物线上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段CE长度的最大值；
（3）当线段CE长度最大时，射线DC上是否存在点F，使△ABF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A、B的坐标代入抛物线的解析式求得b、c的值，从而可求得抛物线的解析式；
（2）设点C的坐标为（x，-x²+x+2）、则点E的坐标为（x，-x+2），从而可列出CE的长度的代数式，然后依据配方法可求得CE的最大值；
（3）设点F的坐标为（1，a），然后依据两点间的距离公式列出关于a的方程求解即可．

解答 解：（1）∵将x=0代入y=-x+2得：y=2，
∴B（0，2）．
∵将y=0代入y=-x+2得：-x+2=0，解得：x=2，
∴A（2，0）．
将点A、B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-4+2b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+2．
（2）设点C的坐标为（x，-x²+x+2）、则点E的坐标为（x，-x+2）则CE=-x²+x+2-（-x+2）=-（x-1）²+1．
当x=1时，EC有最大值，最大值为1．
（3）设点F的坐标为（1，a）．
①当FB=FA时，由两点间的距离公式可知：1²+（a-2）²=1²+a²．
解得a=1．
∴点F的坐标为（1，1）．
∴点F与点E重合，不能构成三角形．
②当FB=BA时，由两点间的距离公式可知：1²+（a-2）²=2²+2²．
解得a=2+$\sqrt{7}$或a=2-$\sqrt{7}$（舍去）．
∴点F的坐标为（1，2+$\sqrt{7}$）．
③当AF=AB时，由两点间的距离公式可知：1²+a²=2²+2²．
解得：a=$\sqrt{7}$或a=-$\sqrt{7}$（舍去）．
∴点F的坐标为（1，$\sqrt{7}$）．
综上所述，点F的坐标为（1，2+$\sqrt{7}$）或（1，$\sqrt{7}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，配方法求二次函数的最值，依据两点间的距离公式，依据两点间的距离公式列出关于a的方程是解题的关键．