Question

2．如图，四边形ABCD是正方形，点E和点F分别在BC和CD上，∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EF，EN
（1）图中与△BME相似的三角形有△AMN，△DNF，△ADM，△AEF；
（2）求证：EF=$\sqrt{2}$MN；
（3）求证：△AEN是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）与△BME相似的三角形有△AMN，△DNF，△ADM，△AEF，△ABN．根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
（2）首先证明△ANE是等腰直角三角形，推出AE=$\sqrt{2}$AN，再证明△AMN∽△AFE即可解决问题．

解答 （1）解：与△BME相似的三角形有△AMN，△DNF，△ADM，△AEF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°，
∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，
∴△AMN∽△BME．
∴∠ANM=∠MEB，
∵∠DNF=∠ANM，
∴∠DNF=∠BEM，∵∠NDF=∠EBM=45°，
∴△DFN∽△BME．
∵∠ADM=∠EBM=45°，∠AMD=∠BME，
∴△DMA∽△BME．
将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
在△AEF和△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠EAH=∠EAF}\\{AH=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEH，
∴∠AEB=∠AEF，
∵∠EAF=∠EBM，
∴△AEF∽△BEM．
∵∠ABN=∠EBM，∠ANB=∠BEM，
∴△BEM∽△BNA，
故答案为△AMN，△DNF，△ADM，△AEF，△ABN．

（2）∵△AMN∽△BME，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{MN}{ME}$，
∴$\frac{AM}{MN}$=$\frac{BM}{ME}$，∵∠AMB=∠EMN，
∴△AMB∽△NME，
∴∠AEN=∠ABD=45°，∵∠EAN=45°，
∴∠NAE=∠NEA=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AN，
∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME，
∴△AMN∽△AFE，
∴$\frac{MN}{EF}$=$\frac{AN}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴EF=$\sqrt{2}$MN．

（3））∵△AMN∽△BME，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{MN}{ME}$，
∴$\frac{AM}{MN}$=$\frac{BM}{ME}$，∵∠AMB=∠EMN，
∴△AMB∽△NME，
∴∠AEN=∠ABD=45°，∵∠EAN=45°，
∴∠NAE=∠NEA=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用相似三角形的性质解决线段之间的关系问题，属于中考压轴题．