Question

2．如图，点A₁、A₂、A₃、…在平面直角坐标系x轴上，点B₁、B₂、B₃、…在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1上，△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形．则A₂₀₁₆的横坐标为2²⁰¹⁶$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设直线与x轴交点为C，求出OC的长度，再根据直线解析式求出∠B₁CO=30°，然后根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠A₁OB₁=60°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CB₁O=30°，根据等角对等边可得OB₁=OC，从而求出第一个等边三角形的边长，同理可求CA₂、CA₃…，根据变化规律写出第CA₂₀₁₆，然后减去OC得到OA₂₀₁₆，从而得解．

解答 解：如图，设直线与x轴交点为C，
令y=0，则$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1=0，
解得x=-$\sqrt{3}$，
所以，OC=$\sqrt{3}$，
由直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1得∠B₁CO=30°，
∵△OA₁B₁是等边三角形，
∴∠A₁OB₁=60°，
∴∠CB₁O=∠A₁OB₁-∠B₁CO=60°-30°=30°，
∴∠B₁CO=∠CB₁O，
∴OB₁=OC=$\sqrt{3}$，
∵OA₁=OB₁，
∴CA₁=OC+OA₁=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
同理，CA₂=4$\sqrt{3}$，CA₃=8$\sqrt{3}$，
…，
CA₂₀₁₆=2²⁰¹⁶$\sqrt{3}$，
所以，OA₂₀₁₆=2²⁰¹⁶$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$，
所以，点A₂₀₁₆的横坐标为2²⁰¹⁶$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$．
故答案为：2²⁰¹⁶$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，难点在于确定出直线与x轴的夹角为30°并求出等腰三角形．