Question

20．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=2$\sqrt{2}$或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$时，△PAD为等腰三角形．

Answer 1

分析 分别从当PA=PD，PA=AD，AD=PD时，△PAD是等腰三角形讨论，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．

解答 解：①当PA=PD时，
此时P位于四边形ABCD的中心，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是正方形，
∴PM=PE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵PM²=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2$\sqrt{2}$，
②当PA=AD时，PA=4（舍）；
③当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，
则△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AG=2x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴PA=2AG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$；
∴PA=2$\sqrt{2}$或4或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用．