Question

已知：在锐角△ABC中，AB=AC，D为底边BC上一点，E为线段AD上一点，且∠BED=∠BAC=2∠DEC，连接CE．
（1）求证：∠ABE=∠DAC；
（2）试判断AE与BE有怎样的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）根据BAC=∠BAE+∠DAC和∠BED=∠BAE+∠ABE即可解题；
（2）在AD上截取AF=BE，连接CF，易证△ACF≌△BAE，可得CF=AE，BE=AF，∠AEB=∠CFA，再根据∠BDE=2∠DEC，即可求得EF=FC，即可解题．

解答：证明：（1）∵∠BAC=∠BAE+∠DAC，∠BED=∠BAE+∠ABE，
∴∠BAE+∠DAC=∠BAE+∠ABE，
∴∠ABE=∠DAC；
（2）在AD上截取AF=BE，连接CF，
在△ACF和△BAE中，

CA=AB ∠AFC=∠AEB AF=BE

，
∴△ACF≌△BAE，（SAS）
∴CF=AE，BE=AF，∠AEB=∠CFA，
∴∠BDE=∠CFG，
∵∠BDE=2∠DEC，∠CFG=∠DEC+∠ECF，
∴∠DEC=∠ECF，
∴EF=FC，
∴AE=EF，
∴BE=AF=2AE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACF≌△BAE是解题的关键．