Question

16．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，（1）求EF的长．（2）求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出AD=AB，∠BAD=90°，根据垂直得出∠DEA=∠AFB=90°，求出∠EDA=∠FAB，根据AAS推出△AED≌△BFA，根据全等三角形的性质得出AE=BF=5，AF=DE=8，即可求出答案；
（2）根据勾股定理求出AB²=AF²+BF²=89，即可得出答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠DEA=∠AFB=90°，
∴∠EDA+∠AED=90°，∠EAD+∠FAB=90°，
∴∠EDA=∠FAB，
在△AED和△BFA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDA=∠FAB}\\{∠AED=∠AFB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴AE=BF，AF=DE，
∵DE=8，BF=5，
∴AE=5，AF=8，
∴EF=AE+AF=8；

 （2）在Rt△AFB中，由勾股定理得：AB²=AF²+BF²=8²+5²=89，
即正方形ABCD的面积为89．

点评 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，能求出△AED≌△BFA是解此题的关键．