Question

5．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB=90°，BC=2，AB=3．
（1）求证：CD²=AD•BD；
（2）请直接写出△ACD与△CBD的周长比=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
△ACD与△CBD的面积比=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （1）证明△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边的比相等即可证得；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵CD是斜边AB上的高
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠1+∠A=90°，
∴∠A=∠2，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=AD•BD；
（2）∵∠ACB=90°，BC=2，AB=3，
∴AC=$\sqrt{5}$，
∴△ACD与△CBD的周长比=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，△ACD与△CBD的面积比=（$\frac{AC}{BC}$）²=$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，证明等积式成立，常用的思路就是转化为证明比例式，从而转化为证明三角形相似．