Question

8．求满足“三角形的三边长为整数且三角形的内切圆半径为2”的所有的三角形的三边．

Answer 1

分析 设直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中c为斜边，于是得到直角三角形内切圆的半径为r=$\frac{a+b-c}{2}$=2，得到a+b=c+4根据勾股定理得到a²+b²=（a+b-4）²，推出$\left\{\begin{array}{l}{a-4=1}\\{b-4=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-4=2}\\{b-4=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=12}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=8}\end{array}\right.$，于是得到结论．

解答 解：设直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中c为斜边，
∴直角三角形内切圆的半径为r=$\frac{a+b-c}{2}$=2，
∴a+b=c+4，
∵a²+b²=c²，
∴a²+b²=（a+b-4）²，
即ab-4（a+b）+8=0，
∴（a-4）（b-6）=8，
∵三边长为整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-4=1}\\{b-4=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-4=2}\\{b-4=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=12}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=8}\end{array}\right.$，
①当直角三角形的直角边为5，12时，斜边为13，
②当直角三角形的直角边为6，8时，斜边为10，
综上所述：三角形的三边为：5，12，13或6，8，10．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．