Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．

Answer 1

【答案】（1）AE是O的切线.

（2）AB=20.

【解析】

（1）根据题意可知OA=OC，然后根据三线合一，可得OE⊥AC，最后根据圆周角定理，进而作出证明即可.

（2）根据锐角三角函数，求出HF的长，然后根据相似三角形的判定，证明△DFH∽△CFD，接着根据相似三角形的性质，可求出AF、CF的长，进而用勾股定理即可求解.

（1）连接OC

∵D是 的中点，

∴∠AOD=∠COD

∵OA=OC

∴OE⊥AC

∴∠AFE=90°

∴∠E+∠EAF=90°

∵∠AOE=2∠C，∠CAE=2∠C

∴∠CAE=∠AOE

∴∠E+∠AOE=90°

∴∠EAO=90°

∴AE是O的切线.

（2）∵∠C=∠B

∵OD=OB

∴∠B=∠ODB

∴∠ODB=∠C

∴sinC=sin∠ODB=

∴HF=

由勾股定理得：DF=

∵∠C=∠FDH，∠DFH=∠CFD

∴△DFH∽△CFD

∴

∴CF=

∴AF=CF=

设OA=OD=x

∴OF=x-

∵AF2+OF2=OA2

∴

解得x=10

∴OA=10

∴AB=20.