Question

已知函数y=﹣x+4的图象与函数的图象在同一坐标系内．函数y=﹣x+4的图象如图1与坐标轴交于A、B两点，点M（2，m）是直线AB上一点，点N与点M关于y轴对称，线段MN交y轴于点C．

（1）m=　　　　　　，S_△AOB=　　　　　　；

（2）如果线段MN被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，求k的值；

（3）如图2，若反比例函数图象经过点N，此时反比例函数上存在两个点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）关于原点对称且到直线MN的距离之比为1：3，若x₁＜x₂请直接写出这两点的坐标．

Answer 1

【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）利用点在函数图象上的特点求出m，以及平面直角坐标系中三角形的面积的计算方法（利用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的边作为底）．

（2）利用点的对称点的坐标特点求出N点的坐标，线段MN被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，且交点为D，分两种情况或计算即可．

（3）利用点到平行于坐标轴的直线的距离的计算方法以及和（2）类似的方法分两种情况处理，取绝对值时，也要分情况计算．

【解答】解：（1）∵M（2，m）在直线y=﹣x+4的图象上，

∴m=﹣2+4=2，

函数y=﹣x+4的图象与坐标轴交于A、B两点，

∴A（4，0），B（0，4），

∴OA=4，OB=4，

∴S_△AOB=OA×OB=×4×4=8．

故答案为m=2，S_△AOB=8．

（2）∵m=2，

∴M（2，2），

∵点N与点M关于y轴对称，

∴N（﹣2，2），

∴MN=4，

∵线段MN被反比例函数的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，且交点为D，

①当时，即：，

∴ND=1，

∴D（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

②当时，即：，

∴DM=MN=×4=1，

∴D（1，2），

∴k=1×2=2．

故k的值为﹣2或2．

（3）反比例函数图象经过点N，且N（﹣2，2），

∴k=﹣2×2=﹣4，

∵反比例函数上存在两个点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），

∴x₁y₁=﹣4x₂，y₂=﹣4，

∵点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）关于原点对称，

∴x₂=﹣x₁，y₂=﹣y₁，

∵M（2，2），N（﹣2，2），

∴点E到直线MN的距离为|y₁﹣2|，点F到直线MN的距离为|y₁+2|，

∵点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）到直线MN的距离之比为1：3，

∴点E（x₁，y₁）、F（﹣x₁，﹣y₁）到直线MN的距离之比为1：3，

①当时，即：3|y₁﹣2|=|y₁+2|

当y₁＞2时，3y₁﹣6=y₁+2，

∴y₁=4，

∴y₂=﹣4，x₁=﹣1，x₂=1

当﹣2＜y₁≤2时，﹣3y₁+6=y₁+2，

∴y₁=1，

∴y₂=﹣1，x₁=﹣4，x₂=4

当y₁≤﹣2时，﹣3y₁+6=﹣y₁+2，

∴y₁=2（舍），

②当时，即：3|y₁+2|=|y₁﹣2|，

当y₁＞2时，3y₁+6=y₁﹣2，

∴y₁=﹣4（舍），

当﹣2＜y₁≤2时，3y₁+6=﹣y₁+2，

∴y₁=﹣1，

∴y₂=1，x₁=4，x₂=﹣4（∵x₁＜x₂，舍），

当y₁≤﹣2时，﹣3y₁﹣6=﹣y₁+2，

∴y₁=﹣4，

∴y₂=4，x₁=1，x₂=﹣1（∵x₁＜x₂，舍），

∴E（﹣4，1），F（1，﹣4）

 E（﹣4，1），F（4，﹣1）

【点评】本题是反比例函数的一道综合题，主要考查了点在函数图象上的特点，如求出m，坐标系中计算三角形面积的方法，利用坐标求两点之间的距离和点到直线的距离，如计算ND，MD，点E，F到直线MN的距离，本题的关键是确定确定两点的距离和点到直线的距离的确定，又用到了分几种情况计算，易丢掉其中一种情况．