Question

如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．

（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出△ABF的面积；
（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）；
（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．

Answer 1

分析：（1）由题意易得CE=3，DE=2，AD=4，然后经过证明△EFG∽△AED，求得FB的值，代入S_△ABF=S_△BEF-S_△ABE=

1

2

BF•BE-

1

2

AB•AD即可；
（2）分两种情况：一是x平移距离小于4时，二是x平移距离大于4时，分别求得解析式，把y=10分别代入两式，求得x的值，注意验证是否符合题意；
（3）当4≤y＜16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积可能相等；0≤y＜4时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．

解答：解：（1）∵AB=EG=DC=5，AD=BC=4，
∴CE=

BE2-BC2

=

52-42

=3，DE=CD-CE=5-3=2，
∵AB=EG，
∴∠BAE=∠BEA，
又∵∠BAE+∠EAD=90°，∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠AED
在△EFG和△AED中，∠BAE=∠AED，∠FBE=∠ADE=90°，
∴△EFG∽△AED，
那么，

FB

EB

=

AD

DE

，
∴FB（或FG）=

AD•EB

DE

=

4×5

2

=10，
∴S_△ABF=S_△BEF-S_△ABE=

1

2

BF•BE-

1

2

AB•AD=

1

2

×10×5-

1

2

×4×5=15；

（2）分两种情况：一是x平移距离小于4时，EF与AB相交于P，过P作PQ⊥EG于Q点，
∵△EFG的直角边FG=10，EG=5，
∴tanα=

EG

FG

=

5

10

=

1

2

，
∵∠FGE=90°，
∴PQ∥FC，四边形PQGB是矩形，
∴∠EPQ=∠F，
根据这个正切值，可求出相应的线段的数值，
得出，FB=FG-BG=10-x，BP=

FB

2

=

10-x

2

，PQ=x，EQ=

x

2

，
∴重叠部分y=PB•BG+

1

2

BG•EQ=

(10-x)x

2

+

1

2

x×

x

2

=-

1

4

x²+5x，
二是x平移距离大于4时，EF与AB相交于P，与CD相交于R，
∴y=PB•BC+

1

2

PQ•RQ=

4(10-x)

2

+

1

2

×4×2=24-2x，
当重叠部分面积为10时，即y=10分别代入两等式，
-

1

4

x²+5x=10，
解得：x=10+2

15

（不合题意舍去）或10-2

15

，
y=24-2x=10得出，x=7，
∴当0≤x≤4时，y=-

1

4

x²+5x，
当4＜x≤10时，y=-2x+24，
∴当y=10时，x=7或x=10-2

15

；

（3）解：当4≤y＜16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积可能相等，
当0≤y＜4时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．

点评：本题以动态（平移和旋转）的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和直角三角形，具有很强的综合性．