题目内容

如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决．

（1）如图2，将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时EF恰好经过点A．
①请证明：△ADE∽△FGE；②求出FG的长度；
（2）如图3，在（1）的条件下，小明先将△EFG的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式．
（3）请直接写出，当重叠面积y在什么范围时，对应的平移距离x有两个值；当重叠面积y在什么范围时，相对应的平移距离x只有一个值？
分析：（1）由题意易得CE=3，DE=2，AD=4，然后经过证明△EFG∽△AED，求得FB的值即可；
（2）分两种情况：一是x平移距离小于4时，二是x平移距离大于4时，分别求得解析式，把y=10分别代入两式，求得x的值，注意验证是否符合题意；
（3）当4≤y＜16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积可能相等；0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．
解答：解：（1）①∵AB=EG=DC=5，AD=BC=4，
∴CE=
DE2-BC2
=
52-42
=3，DE=CD-CE=5-3=2，
∵AB=EG，
∴∠BAE=∠BEA，
又∵∠BAE+∠EAD=90°，∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠AED
在△EFG和△AED中，∠BAE=∠AED，∠FBE=∠ADE=90°，
∴△EFG∽△AED；
②∵由①知，△EFG∽△AED，
∴
BF
BE
=
AD
DE
，
∴BF=FG=
AD•BE
DE
=
4×5
2
=10；

（2）分两种情况：一是x平移距离小于4时（如图1），EF与AB相交于P，过P作PQ⊥EG于Q点，
∵△EFG的直角边FG=10，EG=5，
∴tanα=
EG
FG
=
5
10
=
1
2
，
∵∠FGE=90°，
∴PQ∥FC，四边形PQGB是矩形，
∴∠EPQ=∠F，
根据这个正切值，可求出相应的线段的数值，得出FB=FG-BG=10-x，BP=
FB
2
=
10-x
2
，PQ=x，EQ=
x
2

∴重叠部分y=PB•BG+
1
2
BG•EQ=
10-x
2
+
1
2
x×
x
2
=-
1
4
x2+5x，
二是x平移距离大于4时，EF与AB相交于P，与CD相交于R，
∴y=PB•BC+
1
2
PQ•RQ=
4(10-x)
2
+
1
2
×4×2=24-2x；

（3）∵当4≤y＜16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积可能相等，
∴此时对应的平移距离x有两个值；
∵0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等，
∴此时对应的平移距离x有一个值．
点评：本题考查了相似形综合题，涉及到梯形、矩形的性质等知识点的运用，能熟练地运用性质进行推理和计算是解此题的关键，题目比较典型，综合性比较强，有一定的难度，在解答（2）时用了分类讨论思想．
练习册系列答案
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（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出△ABF的面积；
（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）；
（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．
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如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），
（1）求证：∠AED=∠AEB；（2）如果测得AB=5，BC=4，求FG的长．
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（2013•宜春模拟）课题：探求直角梯形剪开后进行旋转、平移操作相关问题．如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=10，AD=8．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．
观察计算：
（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度．
探索发现：
（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为20时，平移距离x的值（如图3）．
（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．
（2011•如东县模拟）如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．

（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出△ABF的面积；
（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）；
（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．

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