Question

18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，垂足为点E，连接OD、BC，若BC=1，则扇形OBD的面积为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由CD垂直平分OB，得到OE=EB，且OB⊥CD，再利用垂径定理得到CE=DE，利用SAS得到三角形CEB与三角形DEO全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=BC=1，在直角三角形OED中，根据直角边等于斜边的一半确定出∠EDO的度数，进而求出∠BOD度数，利用扇形面积公式求出扇形OBD面积即可．

解答 解：∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，
∴OE=EB，OB⊥CD，
∴CE=DE，
在△BEC和△OED中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=DE}\\{∠CEB=∠DEO=90°}\\{BE=OE}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△OED（SAS），
∴OD=BC=1，
在Rt△OED中，OE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OD，
∴∠ODE=30°，
∴∠BOD=60°，
则扇形BOD面积S=$\frac{60π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{6}$，
故答案为：$\frac{π}{6}$

点评 此题考查了扇形面积的计算，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握扇形的面积公式是解本题的关键．