Question

9．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b=$\sqrt{a-21}$+$\sqrt{21-a}$+16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的性质得出a，b的值进而得出答案；
（2）由题意得：QP=2t，QO=t，PB=21-2t，QC=16-t，根据平行四边形的判定可得21-2t=16-t，再解方程即可；
（3）①当PQ=CQ时，12²+t²=（16-t）²，解方程得到t的值，再求P点坐标；②当PQ=PC时，由题意得：QM=t，CM=16-2t，进而得到方程t=16-2t，再解方程即可．

解答 解：（1）∵b=$\sqrt{a-21}$+$\sqrt{21-a}$+16，
∴a=21，b=16，
故B（21，12）C（16，0）；

（2）由题意得：AP=2t，QO=t，
则：PB=21-2t，QC=16-t，
∵当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形，
∴21-2t=16-t，
解得：t=5，
∴P（10，12）Q（5，0）；

（3）当PQ=CQ时，过Q作QN⊥AB，
由题意得：12²+t²=（16-t）²，
解得：t=$\frac{7}{2}$，
故P（7，12），Q（$\frac{7}{2}$，0），
当PQ=PC时，过P作PM⊥x轴，
由题意得：QM=t，CM=16-2t，
则t=16-2t，
解得：t=$\frac{16}{3}$，2t=$\frac{32}{3}$，
故P（ $\frac{32}{3}$，12），Q（$\frac{16}{3}$，0）．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定，关键是注意分类讨论，不要漏解．