Question

15．已知C，D过∠BCA顶点的一条直线，CA=CB，E，F是直线CD上的两点，且∠BEC=∠CFA．
（1）如图（1），若∠BCA=90°，∠BEC=∠CFA=90°，则BE==CF（填“＞”、“＜”或“=”）
（2）如图（2），∠BCA+∠BEC=180°，则（1）中的结论是否成立？为什么？
（3）如图（3），若∠BEC=∠CFA=∠BCA，则线段EF，BE，AF之间有何数量关系？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理和直角求出∠CBE=∠ACF，利用AAS即可证明三角形BCE与三角形CAF全等，根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF
（2）先证明∠CBE=∠ACF，利用AAS即可证明三角形BCE与三角形CAF全等，根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF．
（3）结论：EF=AF+BE，首先证明∠CBE=∠ACF，利用AAS即可证明三角形BCE与三角形CAF全等，根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF，CE=AF，即可得出EF=AF+BE

解答 （1）解：如图1中，∵∠BCA=∠BEC=∠CFA=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠BCE=∠CAF，
在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEB=∠CFA}\\{∠BCE=∠CAF}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=|CF-CE|=|BE-AF|，
故答案为=．
（2）成立．理由如下，
证明：如图2中，∵∠BCA+∠BEC=180°，∠BCE+∠BEF=180°，
∴∠BCA=∠BEF，
∴∠ACF+∠BCE=∠BCE+∠CBE，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEB=∠CFA}\\{∠BCE=∠CAF}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF．
（3）结论：EF=AF+BE，理由如下．
证明：如图3中，∵∠BCF=∠BEC+∠CBE=∠BCA+∠ACF
∵∠BEC=∠BCA，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEB=∠CFA}\\{∠BCE=∠CAF}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=AF+BE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，此题是一道比较复杂的题目，综合性比较强，本题考查了从特殊到一般的过程，考查了学生的分析能力和推理能力，属于中考常考题型．