题目内容
如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD．（1）求证：∠1+∠2=90°；
（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F=55°，求∠ABC；
（3）若H是BC上一动点，F是BA延长线上一点，FH交BD于M，FG平分∠BFH，交DE于N，交BC于G．当H在BC上运动时（不与B点重合），
| ∠BAD+∠DMH | ∠DNG |
分析：本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的性质，解决问题的关键在于熟悉掌握知识要点，并且善于运用角与角之间的联系进行传递．
（1）由AD∥BC，DE平分∠ADB，得∠ADC+∠BCD=180，∠BDC=∠BCD，得出∠1+∠2=90°；
（2）由DE平分∠ADB，CD平分∠ABD，四边形ABCD中，AD∥BC，∠F=55°，得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=70°；
（3）在△BMF中，根据角之间的关系∠BMF=180°-∠ABD-∠BFH，得∠GND=180°-∠AED-∠BFG，再根据角之间的关系得∠BAD=∠GND+
∠BFH-∠DBC，在综上得出答案．
（1）由AD∥BC，DE平分∠ADB，得∠ADC+∠BCD=180，∠BDC=∠BCD，得出∠1+∠2=90°；
（2）由DE平分∠ADB，CD平分∠ABD，四边形ABCD中，AD∥BC，∠F=55°，得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=70°；
（3）在△BMF中，根据角之间的关系∠BMF=180°-∠ABD-∠BFH，得∠GND=180°-∠AED-∠BFG，再根据角之间的关系得∠BAD=∠GND+
| 1 |
| 2 |
解答：（1）证明：AD∥BC，
∠ADC+∠BCD=180，
∵DE平分∠ADB，
∠BDC=∠BCD，
∴∠ADE=∠EDB，
∠BDC=∠BCD，
∵∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠EDB+∠BDC=90°，
∠1+∠2=90°．
解：（2）∠FBD+∠BDE=90°-∠F=35°，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，
∴∠ADB+∠ABD=2（∠FBD+∠BDE）=70°，
又∵四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，
即∠ABC=70°；
（3）
的值不变．
证明：在△BMF中，
∠BMF=∠DMH=180°-∠ABD-∠BFH，
又∵∠BAD=180°-（∠ABD+∠ADB），
∠DMH+∠BAD=（180°-∠ABD-∠BFH）+（180°-∠ABD-∠ADB），
=360-∠BFH-2∠ABD-∠ADB，
∠DNG=∠FNE=180°-
∠BFH-∠AED，
=180°-
∠BFH-∠ABD-
∠ADB，
=
（∠DMH+∠BAD），
∴
=2．
∠ADC+∠BCD=180，
∵DE平分∠ADB，
∠BDC=∠BCD，
∴∠ADE=∠EDB，
∠BDC=∠BCD，
∵∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠EDB+∠BDC=90°，
∠1+∠2=90°．
解：（2）∠FBD+∠BDE=90°-∠F=35°，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，
∴∠ADB+∠ABD=2（∠FBD+∠BDE）=70°，
又∵四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，
即∠ABC=70°；
（3）
| ∠BAD+∠DMH |
| ∠DNG |
证明：在△BMF中，
∠BMF=∠DMH=180°-∠ABD-∠BFH，
又∵∠BAD=180°-（∠ABD+∠ADB），
∠DMH+∠BAD=（180°-∠ABD-∠BFH）+（180°-∠ABD-∠ADB），
=360-∠BFH-2∠ABD-∠ADB，
∠DNG=∠FNE=180°-
| 1 |
| 2 |
=180°-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
∴
| ∠BAD+∠DMH |
| ∠DNG |
点评：本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题为探索题，比较新颖，实际涉及的知识不多．
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智趣寒假作业云南科技出版社系列答案
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