Question

如图，抛物线y=

2

3

x2+

2

3

3

x+c经过x轴上的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）和y轴上的点C（0，-

3

2

），⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P？并说明理由；
（3）设直线BD交⊙P于另一点E，求经过点E和⊙P的切线的解析式．

Answer 1

分析：（1）将点C的坐标代入抛物线解析式即可求得c的值；
（2）已知D点坐标，可求直线BD的解析式，连接BP，设⊙P的半径为r，求出r，OP的值即可．
（3）过点E作EF⊥y轴于F，可求得△OPB≌△FPE，求出点P的坐标．然后由射影定理求得PE²=PF•PN，根据此关系式求解．

解答：解：（1）∵抛物线y=

2

3

x2+

2

3

3

x+c经过点C（0，-

3

2

），
∴c=-

3

2

，
∴该抛物线的解析式为y=

2

3

x2+

2

3

3

x-

3

2

；

（2）∵抛物线的解析式为y=

2

3

x2+

2

3

3

x-

3

2

，
∴对称轴为x=-

2 3 3

2× 2 3

=-

3

2

．
又∵C（0，-

3

2

），C、D两点关于抛物线的对称轴对称，
∴D（-

3

，-

3

2

）．
令

2

3

x²+

2 3

3

x-

3

2

=0，
解得，x₁=-

3 3

2

，x₂=

3

2

，
即A（-

3 3

2

，0）、B（

3

2

，0）．
易求直线BD的解析式为：y=

3

3

x-

1

2

．
设⊙P的半径为r．则在直角△OBP中，根据勾股定理知BP²=OB²+OP²，即r²=（

3

2

）²+（

3

2

-r）²，
解得，r=1，则OP=OC-r=

3

2

-1=

1

2

．
∴P（0，

1

2

）．
点P的坐标满足直线BD的解析式y=

3

3

x-

1

2

．即直线BD经过圆心P；

（3）过点E作EF⊥y轴于F，得△OPB≌△FPE，则E（-

3

2

，-1）．
设经过E点⊙P的切线l交y轴于点N．
则∠PEN=90°，EF⊥PN，
∴PE²=PF•PN（射影定理），
∴PN=2，N（0，-2.5），（11分）
∴切线l为：y=-

3

x-

5

2

．

点评：本题考查的是二次函数的综合应用．难度较大．解题时，要数形结合，以防将点D的坐标误写为（

3

，-

3

2

）．