Question

已知，如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过x轴上的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）和y轴上的点C（0，-

3

2

），⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b=

3

a，AB=2

3

．
（1）求抛物线的对称轴及其中C的值．
（2）求抛物线的解析式．
（3）直线BP与⊙P交于另一点D，求证D点在抛物线对称轴上，并求过点D⊙P的切线的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用对称轴公式求出即可求出对称轴，以及将C点代入求出C的值即可；
（2）根据一元二次方程中根与系数的关系求出x₁+x₂=-

3

，x₁•x₂=-

3

2a

，进而求出a的值即可；
（3）首先过D作DE⊥y轴于E，证明△BOP≌△DEP，利用勾股定理求出D点坐标，再利用过D点⊙P的切线交y轴于F，证出△PDE∽△DEF，从而求出F点的坐标，即可得出直线DF的解析式．

解答：解：（1）抛物线的对称轴为：x=-

b

2a

=-

3

2a

a=

3

2

，
∵抛物线经过点C（0，-

3

2

）
∴C=-

3

2

；

（2）由题意得：x₁，x₂是方程ax²+

3

ax-

3

2

=0的两根，
∴x₁+x₂=-

3

，x₁•x₂=-

3

2a

，
又∵AB=x₁-x₂=2

3

，
∴（x₂-x₁）²=12
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=12
∴3+4×

3

2a

=12
∴a=

2

3

，
∴抛物线的解析式为y=

2

3

x²+

2 3

3

x-

3

2

，

（3）在y=

2

3

x²+

2 3

3

x-

3

2

，
中，令y=0，得
4x²+4

3

x-9=0，
解得：X₁=-

3 3

2

，X₂=

3

2

，
∴A（-

3 3

2

，0），B（

3

2

，0）．
过D作DE⊥y轴于E
∵∠OPB=∠EPD，∠POB=∠PED，PB=PD
∴△BOP≌△DEP（SAS）
∴DE=OB
∴D点的横坐标为-

3

2

，
∴D点在抛物线的对称轴X=

3

2

上，
设⊙P的半径为R，则有：（

3

2

-R）²+（

3

2

）²=R²，
∴R=1∴OP=

1

2

，
∴PE=OP=

1

2

，
∴D（-

3

2

，-1），
设过D点⊙P的切线交y轴于F，
∵DF为⊙P切线，
∴∠PDF=90°，
又∵DE⊥y轴，
∴△PDE∽△DEF，
DE²=PE•EF
∴EF=

3

2

，
∴F（0，-

5

2

），
设直线DF的解析式为y=kx+b，
∴

- 3 2 k+b=-1 b= - 5 2

，
解得：

k=- 3 b= - 5 2

，
∴直线DF的解析式为：y=-

3

x-

5

2

．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及三角形全等的判定与性质和相似三角形的判定与性质等知识，灵活的利用数形结合正确得出函数图象上的交点坐标是解题的关键．