Question

（2013•义乌市）如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③-1≤a≤-

2

3

；④3≤n≤4中，
正确的是（　　）

A．①②

B．③④

C．①④

D．①③

Answer 1

分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（-1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；
②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=-2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；
③根据两根之积

c

a

=-3，得到a=-

c

3

，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；
④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=

4

3

c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．

解答：解：①∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；

②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；

③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
∴

c

a

=-3，则a=-

c

3

．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤-

c

3

≤-

2

3

，即-1≤a≤-

2

3

．
故③正确；

④根据题意知，a=-

c

3

，-

b

2a

=1，
∴b=-2a=

2c

3

，
∴n=a+b+c=

4

3

c．
∵2≤c≤3，
∴

8

3

≤

4

3

c≤4，即

8

3

≤n≤4．
故④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选D．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax²+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．