Question

如图，抛物线y=ax²+bx+2

3

交x轴于点B（6，0）和C（-2，0），交y轴于点A．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒

3

2

个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点P运动到抛物线对称轴上时t的值；
（3）如果取AB的中点D，过D作DE⊥y轴，DF⊥x轴，垂足分别为E、F．设等边△PMN和矩形OEDF重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系数法求出a、b的值就可以求出抛物线的解析式，利用抛物线的解析式求出A点的坐标，利用待定系数法就可以求出直线AB的解析式；
（2）根据B、A的坐标及其他条件就可以求出∠ABO=30°，∠OAB=60°，由等边三角形的性质就可以求出等边三角形的边长，由抛物线的解析式就可以求出抛物线的对称轴，如图1，作PH⊥AO于H，由勾股定理就可以求出t值；
（3）根据梯形的面积和三角形的面积分情况讨论求出当0≤t≤1时和1＜t≤2时S的表达式．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+2

3

交x轴于点B（6，0）和C（-2，0），
∴

0=36a+6b+2 3 0=4a-2b+2 3

，
∴

a=- 3 6 b= 2 3 3

，
∴抛物线的解析式为：y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

，
当x=0时，y=2

3

，
∴A（0，2

3

）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得

2 3 =b 0=6k+b

，
解得：

k=- 3 3 b=2 3

，
∴y=-

3

3

x+2

3

；

（2）∵B（6，0），A（0，2

3

），
∴OA=2

3

，OB=6，
∴tan∠ABO=

3

3

，
∴∠ABO=30°，
∴∠OAB=60°，
∵△PMN是等边三角形，
∴∠PMN=∠PNM=60°，
∴∠MEO=∠AEP=30°，
∵AP=

3

2

t，
∴PE=

3

2

t，AE=

3

t，
∴OE=2

3

-

3

t，MO=2-t，
∴ME=4-2t，
∴MP=4-2t+

3

2

t=4-

1

2

t，
∵y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

，
∴y=-

3

6

（x-2）²+

8 3

3

，
∴抛物线的对称轴为x=2，
如图1，当x=2时，作PH⊥AO于H，
∴HP=2，在Rt△AHP中，由勾股定理得：
AH=

2 3

3

，AP=

4 3

3

，
∴t=

4 3

3

÷

3

2

=

8

3

．
∴等边△PMN的顶点P运动到抛物线对称轴上时t的值为：

8

3

；
（3）∵AB的中点D，过D作DE⊥y轴，DF⊥x轴，
∴ED=

1

2

OB=3，AE=EO=

3

．
如图2，当0≤t≤1时，作HQ⊥OB于Q，
∴HQ=

3

，QN=1，
∵ON=4-

1

2

t-（2-t）=2+

1

2

t，
∴OQ=EH=1+

1

2

t，
∴S=

(1+ 1 2 t+2+ 1 2 t) 3

2

，
S=

3 3 + 3 t

2

；
如图3，当1＜t≤2时，作FK⊥OB于K，HQ⊥OB于Q，
∴FK=HQ=

3

，
∴QN=MK=1，
∴FH=4-

1

2

t-2=2-

1

2

t，
S=

(2- 1 2 t+4- 1 2 t) 3

2

-

(2-t)(2 3 - 3 t)

2

，
=

2 3 +3 3 t- 3 t2

2

．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了抛物线的性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分类讨论思想的运用及梯形的面积公式和三角形的面积公式的运用及特殊角的三角函数值的运用．