题目内容

已知：反比例函数 $数学公式$ 经过点B（1，1）．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由；
（3）若该反比例函数图象上有一点F（m， $数学公式$ ）（其中m＞0），在线段OF上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FM⊥x轴于点M，连接EM，使△OEM的面积是 $数学公式$ ，求代数式 $数学公式$ 的值．

解：（1）反比例函数解析式： $\text{[math]}$ ；

（2）∵已知B（1，1），A（2，0）
∴△OAB是等腰直角三角形
∵顺时针方向旋转135°，
∴B′（0，- $\text{[math]}$ ），A^′（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
∴中点P为（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
∵（- $\text{[math]}$ ）•（- $\text{[math]}$ ）=1
∴点P在此双曲线上．

（3）∵EH=n，0M=m
∴S_△OEM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴m= $\text{[math]}$
又∵F（m， $\text{[math]}$ ）在函数图象上
∴ $\text{[math]}$ =1．
将m= $\text{[math]}$ 代入上式，得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，
∴n²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴n²+ $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）函数式y= $\text{[math]}$ ，且过（1，1）点，代入可确定k的值，从而求出函数式．
（2）因为△OAB是等腰直角三角形，旋转后求出A^′和B^′的坐标，从而求出A^′B^′中点的坐标，可判断是否在双曲线上．
（3）因为EH=n，0M=m，△OEM的面积是 $\text{[math]}$ ，从而可求出n和m的关系式，因为F在反比例函数图象上，代入函数式，可求出结果．
点评：本题考查反比例函数的综合应用，关键是知道用已知点确定反比例函数式k的值，进而确定函数式，以及反比例函数上的点，和由这点做顶点的三角形的面积的关系．