Question

20．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上一点，且∠BAF=∠EAD．
（1）求证：EF⊥AE；
（2）将“正方形”改成“矩形”，其他条件均不变，如图2，你认为仍然有“EF⊥AE”吗？若你同意，请以图2为例加以证明；如你不同意，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长AE交BC的延长线于G点，如图1，由正方形性质得AD∥CG，∠D=∠BCD=∠DCG=90°，再证明△ADE≌△GCE得到AE=GE，∠DAE=∠G，接着证明FA=FG，然后根据等腰三角形的性质得到结论；
（2）延长AE交BC的延长线于G点，如图2，证明的方法与（1）一样，也可得到EF⊥AE．

解答 解：（1）延长AE交BC的延长线于G点，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CG，∠D=∠BCD=∠DCG=90°，
∵E是DC的中点
∴DE=EC，
在△ADE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECG}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠GEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GCE，
∴AE=GE，∠DAE=∠G，
∵∠EAF=∠EAD，
∴∠FAE=∠G
∴FA=FG，
∴EF⊥AG，即EF⊥AE；
（2）仍然有“EF⊥AE”．证明如下：
延长AE交BC的延长线于G点，如图2，
同样可证明△ADE≌△GCE，
∴AE=GE，∠DAE=∠G，
∵∠EAF=∠EAD，
∴∠FAE=∠G
∴FA=FG，
∴EF⊥AG，即EF⊥AE．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．也考查了等腰三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质