Question

6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3m，以点O为圆心，2m长度为半径的⊙O以1cm/s的速度从点A出发，沿着边AB-BC-CA运动，当圆心O回到点A时停止运动，设运动时间为ts．
（1）⊙O在运动的过程中有6次与△ABC三边所在的直线相切；
（2）求⊙O在运动的过程中与线段AB只有一个公共点时t的值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）①⊙O在BC上与AB相切时，过O作OD⊥AB于D，②当⊙O在AC上与AB相切时，过O作OD⊥AB于D，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）6次，第一次当⊙O运动到AB的中点时，
过中点O作OD⊥OD⊥BC于D，
∵AC=4，OD=$\frac{1}{2}$AC=2；
第二次当⊙O运动到BC边上时，O到AB的距离等于2；
第三次当⊙O运动到AC边上的一点时，OC=2，⊙O与BC相切于点C；
第四次当⊙O运动到AC边上的一点时，点O到AB的距离等于2；
第五次点O在BC上且OC=2，⊙O与AC相切于C；
第六次当O在AB上且O到AC的距离等于2；

（2）∵⊙O与AB只有一个公共点，
∴⊙O在BC上与AB相切只有一个公共点，⊙O在AC上与AB相切只有一个公共点，
①、⊙O在BC上与AB相切时，过O作OD⊥AB于D，
则△ABC∽△OBD，
∵AC=4，BC=3，OD=2，
∴AB=5，
∴$\frac{OB}{AB}=\frac{OD}{AC}$，
∴OB=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{AB+OB}{1}$=7.5；
②当⊙O在AC上与AB相切时，过O作OD⊥AB于D，
则△ABC∽△AOD，
∵AC=4，BC=3，OD=2，
∴AB=5，
∴$\frac{AO}{AO}=\frac{OD}{BC}$，
∴AO=$\frac{10}{3}$，
∴OC=$\frac{2}{3}$，
∴t=$\frac{AB+BC+OC}{1}$=$\frac{26}{3}$，
∴t的取值范围是$\frac{15}{2}$＜x＜$\frac{26}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理．