Question

9．如图，已知∠AOB=45°，∠AOB内有一点P，OP=6$\sqrt{2}$，M为射线OA上一动点，N为射线OB上一动点，则PM+MN+PN的最小值为12．

Answer 1

分析 首先分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，易得△OCD是等腰直角三角形，且此时CD的长即为PN+MN+PN的最小值，继而求得答案．

解答 解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6$\sqrt{2}$，∠COD=2∠AOB=2×45°=90°，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=12，
∵PN+PM+MN的最小值是12．
故答案为：12．

点评 本题考查了轴对称的性质、最短路线问题以及等腰三角形的判定与性质．注意准确确定点M，N的位置是关键．