Question

6．已知关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m=0．
（1）求证：无论实数m取什么值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）试写出一个m的值，使方程的两个根都是正整数，并解这个方程．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1＞0，由此即可证出：无论实数m取什么值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用分解因式法解原方程，可得x₁=m，x₂=m+1，取m=1即可得出结论．

解答 （1）证明：在方程x²-（2m+1）x+m²+m=0中，△=[-（2m+1）]²-4×1×（m²+m）=1＞0，
∴无论实数m取什么值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x²-（2m+1）x+m²+m=（x-m）（x-m-1）=0，
解得：x₁=m，x₂=m+1，
∴当m=1时，方程的两个根都是正整数，且方程的根为1和2．

点评 本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解方程，解出x₁=m、x₂=m+1．