Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点任作一直线PQ，过A作AM⊥PQ于M，过B作BN⊥PQ于N，
（1）如图1，当直线MN在△ABC的外部时，求证：MN=AM+BN；
（2）如图2，当直线MN在△ABC的内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请指出MN与AM、BN之间的数量关系并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据垂直的定义得到∠AMC=∠CNB=90°，则∠MAC+∠ACM=90°，又∠ACB=90°，则∠ACM+∠NCB=90°，于是根据等量代换得到∠MAC=∠NCB，根据“AAS”可证明△ACM≌△CBN，根据全等的性质得AM=CN，CM=BN，则MN=MC+CN=AM+BN；
（2）与（1）证明方法一样可得到△ACM≌△CBN，根据全等的性质得AM=CN，CM=BN，而MN=CN-CM=AM-BN．

解答：（1）证明：∵AM⊥PQ于M，过B作BN⊥PQ于N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中

∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=BC

，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=MC+CN=AM+BN；

（2）（1）中的结论不成立，MN与AM、BN之间的数量关系为MN=AM-BN．理由如下：
∵AM⊥PQ于M，过B作BN⊥PQ于N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中

∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=BC

，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=CN-CM=AM-BN．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．