Question

16．如图，铁路上A、B两地相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB垂足分别为A、B，已知DA=15km，CB=10，现在要在铁路AB上修建一个物流中心E．
（1）如果C、D两村庄到物流中心E的距离相等．那么物流中心E应修建在离A地多少千米处？在图中标出物流中心E的位置，井说明理由．
（2）如果C、D两村庄到物流中心E的距离之和最短，那么物流中心E应修建在什么地方？在图中标出物流中心E的位置，并求出最短距离的平方．

Answer 1

分析 （1）关键描述语：产品收购站E，使得A、B两村到E站的距离相等，在Rt△DBE和Rt△CAE中，设出CE的长，可将AE和BE的长表示出来，列出等式进行求解即可；
（2）根据题意构造直角三角形D′FC，再由勾股定理求解即可．

解答 解：（1）设CE=xkm，
∵A、B两村到E站的距离相等，∴AE=BE，即AE²=BE²，
由勾股定理，得15²+x²=10²+（25-x）²，
解得：x=10．
故E点应建在距C站10千米处；
（2）作D点关于AB的对称点D′，连接D′C，再作D′F⊥BC于点F，此时DE+EC最短，即求出CD′的距离即可，
∵DA=10km，CB=15km，A、B两点相距25km，
∴FC=25km，D′F=25km，
∴D′C²=FC²+D′F²=625+625=1300，
∴最短距离的平方是1300．

点评 此题主要考查了轴对对称求最短路径以及勾股定理，得出E点位置进而构造直角三角形是解题关键．