Question

8．如图，已知一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数${y_2}=-\frac{4}{x}$的图象交于A、B两点、与x轴交于点M，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-4．求：
（1）一次函数的解析式；
（2）并利用图象指出，当x为何值时有y₂＞y₁；
（3）若点N是反比例函数上一点，△AOB与△OMN面积相等，请直接写出点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求得A和B的坐标，然后利用待定系数法即可求解；
（2）根据函数图象即可直接求解；
（3）首先求得M的坐标，则根据三角形的面积公式求得△AOB的面积，然后设出N的纵坐标，根据面积公式求得纵坐标，则N的坐标即可求解．

解答 解：（1）在y=-$\frac{4}{x}$中，令x=-4，则y=1；令y=-4，得x=1，
则A的坐标是（-4，1），B的坐标是（1，-4）；
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=1}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
则一次函数的解析式是：y₁=-x-3；
（2）-4＜x＜0或x＞1；
（3）在y=-x-3中，令y=0，解得：x=-3，
则M的坐标是（-3，0）．即OM=3．
则S_△AOB=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{15}{2}$．
设N的纵坐标的绝对值是a，
则$\frac{1}{2}$×3a=$\frac{15}{2}$，
解得：a=5．
当N的纵坐标是5时，把y=5代入y=-$\frac{4}{x}$得x=-$\frac{4}{5}$；
当N的纵坐标是-5时，把y=-5代入y=-$\frac{4}{x}$得x=$\frac{4}{5}$．
则N的坐标是（-$\frac{4}{5}$，5）或（$\frac{4}{5}$，-5）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及利用图形求三角形的面积，正确求得△AOB的面积是关键．