Question

如图，C为⊙O上一点，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC、CB于点D、F，AD=CD=5，⊙O的半径为10．
（1）求证：

AC

=

CE

；
（2）求DF的长；
（3）求tan∠ECB．

Answer 1

分析：（1）利用圆周角定理得出∠ACB=90°，进而得出∠ACP=∠CAE，以及得出∠CAE=∠CEA，即可得出答案；
（2）利用已知得出∠FCD=∠CFD，进而得出CD=DF，即可得出答案；
（3）首先得出△AFC∽△BAC，设AC=k，则BC=2k，在Rt△ACB中AC²+BC²=AB²，求出k的值，进而得出△APC∽△ACB，求出AP的长，求出tan∠DAP=

DP

AP

=

3

4

，
利用∠ECB=∠DAP，得出答案即可．

解答：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACP+∠PCB=90°，
∵CP⊥AB，
∴∠B+∠PCB=90°，
∴∠ACP=∠B，
∴∠ACP=∠CAE，
∴∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠CEA，
∴

AC

=

CE

；

（2）解：∵∠ACB=90°，∠ACP=∠CAD，
∴∠ACP+∠FCD=90°，∠CAD+∠CFD=90°，
∴∠FCD=∠CFD，
∴CD=DF，
∴DF=5；

（3）解：由（1）∠CAF=∠B，∠ACF=∠ACB，
∴△AFC∽△BAC，
∴

CA

CB

=

AF

AB

=

AD+DF

20

=

10

20

=

1

2

，
设AC=k，则BC=2k，在Rt△ACB中
AC²+BC²=AB²，
∴k²+（2k）²=20²，
解得：k=4

5

，
由∠APC=∠ACB=90°，∠CAP=∠CAB，
∴△APC∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AP

AC

，
∴AC²=AB•AP，
∴（4

5

）²=20AP，
∴AP=4，
在Rt△APC中，AC²=AP²+PC²，
∴PC=

AC2-AP2

=

80-16

=8，
∴DP=PC-CD=8-5=3，
∴tan∠DAP=

DP

AP

=

3

4

，
∵∠ECB=∠DAP，
∴tan∠ECB=

3

4

．

点评：此题主要考查了圆的综合中圆周角定理以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，利用已知得出△APC∽△ACB求出AP的长是解题关键．