Question

【题目】如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE＝BD．求证：△ADE是等边三角形．

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】

利用△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，求得∠ADB＝90°，再用SAS证明△CBD≌△ACE，推出AE＝CD＝AD，∠AEC＝∠BDC＝90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE＝AD，即可得出答案．

证明：∵△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，

∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，

∵EC⊥BC，

∴∠BCE＝90°，

∴∠DBC+∠DCB＝90°，∠ECD+∠BCD＝90°，

∴∠ACE＝∠DBC，

∵在△CBD和△ACE中

∴△CBD≌△ACE（SAS），

∴CD＝AE，∠AEC＝∠BDC＝90°，

∵D为边AC的中点，∠AEC＝90°，

∴AD＝DE，

∴AD＝AE＝DE，

即△ADE是等边三角形，