Question

【题目】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形的中心．

（1）写出一种你学过的和美四边形_________；

（2）如图1，点O是和美四边形ABCD的中心，E，F，G、H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接OE，OF，OG，OH，记四边形AEOH，BEOF，CGOF，DHOG的面积为，用等式表示的数量关系(无需说明理由)．

（3）如图2，四边形ABCD是和美四边形，若AB=3，BC=2，CD=4，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）正方形（答案不唯一，也可以是菱形.）；（2）S1+S3= S2+S4；（3）.

【解析】

（1）根据正方形的对角线互相垂直解答(答案不唯一)；
（2）根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答；
（3）根据和美四边形的定义、勾股定理计算即可．

解：（1）正方形是学过的和美四边形，
故答案为：正方形；（答案不唯一，也可以是菱形.）

（2）的数量关系是S1+S3= S2+S4；理由如下：

如图1，连接AC、BD，

由和美四边形的定义可知，AC⊥BD，
则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，

又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴△AOE的面积=△BOE的面积，△BOF的面积=△COF的面积，△COG的面积=△DOG的面积，△DOH的面积=△AOH的面积，

∵S1+S3=△AOE的面积+△COF的面积+△COG的面积+△AOH的面积，

S2+S4=△BOE的面积+△BOF的面积+△DOG的面积+△DOH的面积，

∴S1+S3= S2+S4；
（3）如图2，连接AC、BD交于点O，则AC⊥BD，

∵在Rt△AOB中，AO2=AB2-BO2，

Rt△DOC中，DO2=DC2-CO2，

AB=3，BC=2，CD=4，
∴AD2=AO2+DO2

=AB2-BO2+DC2-CO2

=AB2+DC2-BC2

=32+42-22

=21，
∴AD= .