Question

无论k取任何实数，对于直线y=kx都会经过一个固定的点（0，0），我们就称直线y=kx恒过定点（0，0）．
（1）无论m取任何实数，抛物线y=mx²-（1+3m）x+2恒过定点A（x₀，y₀），直接写出定点A的坐标；
（2）已知△ABC的一个顶点是（1）中的定点A（x₀＞0），且∠B，∠C的角平分线分别是y轴和直线y=x，求边BC所在直线的表达式；
（3）求△ABC内切圆的半径．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）无论m为任何实数抛物线y=mx²-（1+3m）x+2恒过定点A（x₀，y₀），也就是说整理后m的系数等于0；
（2）由已知条件易求点A（x₀＞0）坐标，因为∠B，∠C的角平分线所在直线分别是y轴和直线y=x，所以点B、点C在点A关于y轴、直线y=x的对称点所确定的直线上．
作点A关于y轴的对称点D（-3，-1），作点A关于直线y=x的对称点E（-1，3），设直线BC的表达式为y=kx+b，把D，E点的坐标代入求出k和b的值即可；
（3）过点O作OF⊥BC于F，则OF即为△ABC内切圆的半径，设BC与x轴交点为点G，易知G(-

5

2

 ， 0)，B（0，5），由三角形的面积为的值即可求出内切圆的半径．

解答：解：（1）∵y=mx²-（1+3m）x+2=mx²-x-3mx+2，
=（x²-3x）m-x+2，
∴若要无论m取任何实数，抛物线y=mx²-（1+3m）x+2恒过定点A（x₀，y₀），则x²-3x=0，
∴x=0或3，
∴点A的坐标为（0，2），（3，-1）．

（2）∵△ABC的一个顶点是（1）中的定点A（x₀＞0），
∴A（3，-1）．
∵∠B，∠C的角平分线所在直线分别是y轴和直线y=x，
∴点B、点C在点A关于y轴、直线y=x的对称点所确定的直线上．
作点A关于y轴的对称点D（-3，-1），作点A关于直线y=x的对称点E（-1，3）．
直线DE与y轴的交点即为点B，与直线y=x的交点即为点C．连接AB，AC．
设直线BC的表达式为y=kx+b．
则有

3=-k+b -1=-3k+b.

解之，得

k=2 b=5.

所以，y_BC=2x+5．

（3）∵∠B，∠C的角平分线所在直线分别是y轴和直线y=x，y轴和直线y=x的交点O即为△ABC内切圆的圆心．
过点O作OF⊥BC于F，则OF即为△ABC内切圆的半径．
设BC与x轴交点为点G，易知G(-

5

2

 ， 0)，B（0，5）．
∴BG=

5 5

2

．
∵S△BOG=

1

2

•OB•OG=

1

2

•GB•OF，
∴OF=

5

，即△ABC内切圆的半径为

5

．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、三角形内切圆的性质、三角形的面积公式运用、轴对称的性质以及新定义的问题，题目的综合性较强，对学生的综合解题能力要求很高．