Question

关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列命题：
①若a、c异号，则方程 ax²+bx+c=0必有两个不相等的实数根；
②若4a-2b+c=0，则方ax²+bx+c=0有两个不等实根；
③若方程ax²+bx+c=0的两根互为相反数，则b=0； 
④若b=a+c，则ax²+bx+c=0方程有两个不相等的实数根．
其中正确的为（　　）

• A、①③
• B、①②③
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

考点：根的判别式,命题与定理

专题：计算题

分析：由于a、c异号，则△=b²-4ac＞0，于是根据判别式的意义可对①进行判断；由于b=

4a+c

2

，计算出△=（

4a+c

2

）²-4ac=

(4a-c)2

4

≥0，于是根据判别式的意义可对②进行判断；由于方程ax²+bx+c=0的两根互为相反数，根据根与系数的关系对③进行判断；由于b=a+c，则计算出△=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，于是根据判别式的意义可对④进行判断．

解答：解：若a、c异号，则△=b²-4ac＞0，所以方程ax²+bx+c=0必有两个不相等的实数根，所以①正确；若4a-2b+c=0，即b=

4a+c

2

，则△=（

4a+c

2

）²-4ac=

(4a-c)2

4

≥0，所以方程ax²+bx+c=0有两个实数根，所以②错误；若方程ax²+bx+c=0的两根互为相反数，则b=0，所以③正确； 若b=a+c，则△=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，则ax²+bx+c=0有两个实数根，所以④错误．
故选A．

点评：本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．