Question

已知质数p、q使得表达式

2p+1

q

及

2q-3

p

都是自然数，试确定p²q的值．

Answer 1

分析：先设p≥q，再由

2q-3

p

为自然数可判断出能

2q-3

p

=1，即p=2q-3，同理由

2p+1

q

是自然数可求出q=5，p=7；再设p＜q，可求出

2p+1

q

的取值范围，再分

2p+1

q

=1和

2p+1

q

=2两种情况进行讨论，找出符合条件的未知数的值代入代数式计算即可．

解答：解：先设p≥q，则有1≤

2q-3

p

=2×

q

p

-

3

p

＜2，于是只能

2q-3

p

=1，即p=2q-3，
而这时

2p+1

q

=

4q-5

q

=4-

5

q

，要使

2p+1

q

为自然数，只能q=5，从而p=7，
再设p＜q，这时1≤

2p+1

q

=2×

p

q

+

1

q

＜3，于是有下面两种情况：
①

2p+1

q

=1，q=2p+1，此时

2q-3

p

=

4p-1

p

，
解得p=1，不合题意；
②

2p+1

q

=2，2p+1=2q，左边为奇数，右边为偶数，矛盾．
故p²q=7²×5=245．
故答案为：245．

点评：本题考查的是数的整除性问题、自然数、奇数与偶数、质数的定义，涉及面较广，难度较大．