Question

如图，已知直线l的函数表达式为y=-

4

3

x+8，且l与x轴，y轴分别交于A，B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q，P移动的时间为t秒
（1）点A的坐标为

 

，点B的坐标为

 

；
（2）当t=

 

时，△APQ与△AOB相似；
（3）（2）中当△APQ与△AOB相似时，线段PQ所在直线的函数表达式为

 

．

Answer 1

分析：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，即与x轴的交点y=0，与y轴的交点x=0，求出A．B两点的坐标；
（2）当移动的时间为t时，根据△APQ∽△AOB，利用三角形的相似比求出t的值；
（3）当t=

30

11

秒时，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=

30

11

，即可求出P（

36

11

，0），进而求出线段PQ所在直线的函数表达式；
当t=

50

13

时PA=

50

13

，BQ=

100

13

，OP=

28

13

，有P（

28

13

，0），设Q点的坐标为（x，y），同上可求出Q的坐标，设PQ的表达式为y=kx+b，把P，Q两点的坐标分别为代入即可求出PQ的表达式．

解答：解：（1）由y=-

4

3

x+8，
令x=0，得y=8；
令y=0，得x=6．
A，B的坐标分别是（6，0），（0，8）；

（2）由BO=8，AO=6，根据勾股定理得AB=

BO2+AO2

=10．
当移动的时间为t时，AP=t，AQ=10-2t．
∵∠QAP=∠BAO，当

PA

OA

=

QA

BA

时，
△APQ∽△AOB，

t

6

=

10-2t

10

，
∴t=

30

11

（秒）．
∵∠QAP=∠BAO，
∴当

PA

AB

=

AQ

AO

时，
△APQ∽△AOB，
∴

t

10

=

10-2t

6

，
∴t=

50

13

（秒），
∴t=

30

11

秒或

50

13

秒，经检验，它们都符合题意，此时△AQP与△AOB相似；

（3）当t=

30

11

秒时，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=

30

11

，
∴OP=

36

11

，
∴P（

36

11

，0），
∴线段PQ所在直线的函数表达式为x=

36

11

，
当t=

50

13

时PA=

50

13

，BQ=

100

13

，OP=

28

13

，
∴P（

28

13

，0），
设Q点的坐标为（x，y），则有

X

OA

=

BQ

BA

，
∴

x

6

=

100 13

10

，
∴x=

60

13

，
当x=

60

13

时，y=-

4

3

×

60

13

+8=

24

13

，
∴Q的坐标为(

60

13

，

24

13

)，
设PQ的表达式为y=kx+b，
则

28 13 k+b=0 60 13 k+b= 24 13

，
∴

k= 3 4 b=- 21 13

，
∴PQ的表达式为y=

3

4

x-

21

13

．

点评：此题考查的是一次函数的解析式与三角形相结合，根据三角形相似求一次函数的解析式，有一定的难度．是中学阶段的难点．