Question

已知，如图，⊙D交y轴于A、B，交x轴于C，过点C的直线：y=-2

2

x-8与y轴交于P，且D的坐标（0，1）．
（1）求点C、点P的坐标；
（2）求证：PC是⊙D的切线；
（3）判断在直线PC上是否存在点E，使得S_△EOP=4S_△CDO？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据函数解析式可以求得C（ -2

2

，0），P（0，-8）；
（2）利用（1）的结论可以求出cot∠OCD=2

2

，cot∠OPC=2

2

，得∠OCD=∠OPC，∠OCD+∠PCO=90°，由此即可证明即PC是⊙D的切线；
（3）设直线PC上存在一点E（x，y），根据使S_△EOP=4S_△CDO

1

2

可以列出关于x的方程，解方程求出x，然后利用直线PC的解析式即可求出E的坐标．

解答：（1）解：∵直线y=-2

2

x-8与x轴、y轴分别交于点C、P，
∴当x=0时，y=-8，
当y=0时，x=-2

2

，
∴C（ -2

2

，0），P（0，-8）；

（2）证明：根据（1）得OC=2

2

，OP=8，OD=1，
∴cot∠OCD=

OC

OD

=2

2

，cot∠OPC=

OP

OC

=2

2

，
∴∠OCD=∠OPC，
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠OCD+∠PCO=90°，
∴PC是⊙D的切线；

（3）解：设直线PC上存在一点E（x，y），
使S_△EOP=4S_△CDO，即

1

2

×8×|x|=4×

1

2

×1×2

2

，
解得x=±

2

，由y=-2

2

x-8可知：
当x=

2

时，y=-12，
当x=-

2

时，y=-4，
∴在直线PC上存在点E（

2

，-12）或（-

2

，-4），
使S_△EOP=4S_△CDO；

点评：此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、直线与圆的位置关系及三角形的面积公式，有一定的综合性，最后一问注意分类讨论．